Sheet 1
مدل‌سازي
  مدل
    Model
    خلاصه‌اي از واقعيت
    نمايش مجرّد يا فيزيکي يک شيء يا سيستم
    کاربردهاي حياتي متنوّع و فراواني در همه زمينه‌هاي علوم و فناوري دارند
    به منزله معرف هر سيستم است که به منظور بررسي آن تعريف ميشود
    در اکثر بررسيها، در نظر گرفتن همه جزييات سيستم لازم نيست
    مدل نه تنها جانشيني براي سيستم است، بلکه ساده‌سازي سيستم نيز هست
    بايد به اندازه کافي در برگيرنده جزييات باشد تا اجازه دهد نتيجه‌هايي معتبر در مورد سيستم حقيقي گرفته شود
  نظريه مدل
    Model Theory
    نظريه مدل در رياضيات مطالعهٔ ساختارهاي رياضي از يک مرتبه بالاتر است
    منظور از ساختار، يک ساختار جبري ست پس موضوع اين نظريه به جبر مربوط مي‌شود
    نگاه معناشناسي منطقي به ساختارها دارد که اين نظريه را در دامنهٔ منطق رياضي قرار مي‌دهد
    گستره و موضوع بحث اين نظريه
      فرا رياضياتِ دستگاه‌هاي جبري
      جبر جهاني + منطق مرتبه اول = نظريه مدل
      ميدان‌ها- هندسه جبري = نظريه مدل
    قضاياي اساسي
      قضيهٔ فشردگي
        مجموعهٔ الف از جمله‌ها در زبان ب مدل دارد اگر و فقط اگر هر زير مجموعهٔ متناهي از آن مدل داشته باشد
      قضيهٔ لوفِن‌هايم-اسکولِم
        فرض كنيد الف مجموعه‌اي سازگار از جمله‌ها در زبان ب باشد و ب=ج اگر الف مدلي نامتناهي داشته باشد آنگاه براي هرعدد اصلي ج كوچك‌تر يا مساوي دال، مدلي به اندازه دال دارد
  مدل‌سازي
    Scientific model
    فرايند ايجاد و انتخاب مدل‌ها را مدل‌سازي ناميده‌اند
    مدل سازي به پژوهشگران کمک مي‌کند تا يک سامانه را به صورت سامانه‌شناسي تحليل کرده و رفتار آن را پيش‌بيني کنند
    هدف از مدل‌سازي
      پيش¬بيني
        از نمونههاي استفاده از مدل به عنوان پيشبيني به پيشبيني در بازار بورس و پيشبيني هوا در يك مدت محدود ميتوان اشاره كرد
        برآورد متغير خروجي با استفاده از متغيرهاي ورودي
        استفاده از مدل‌ها براي پيش‌بيني
        تعيين مقدار عدم حتميت در پيش‌بيني نتايج
      شبيه¬سازي
        يك نمونه از كاربردهاي اين روش مدلسازي، قرار دادن مدل بدست آمده بجاي سنسور ميباشد كه در اين حالت زماني اين مدلسازي اهميت پيدا ميكند كه سنسورهاي واقعي در شرايط مختلف محيطي، مقاوم نبوده و يا بسيار بزرگ، حجيم و گران باشند.
        تفاوت اساسي بين شبيهسازي و پيشبيني در اين است كه در شبيهسازي براي آنكه در مورد پايداري مدل مطمئن بود بايد از فيدبك در داخل مدل استفاده كرد و وجود فيدبك باعث مشكلتر شدن فرآيند شناسايي ميشود.
      بهينه¬سازي
        در يك عمل بهينهسازي، بهترين نقطه كار و يا بهترين مجموعه از وروديها انتخاب ميگردد
        براي اين كار اگر نتوان تمامي مجموعه_هاي ورودي را به مدل اعمال كرد و يا نقاط كار مختلف را مورد بررسي قرار داد بايد از عمليات بهينهسازي استفاده كرد
      تجزيه و تحليل
        در اين روش با تحليل فرآيندهاي اصلي، بيان واكنشها و فعل و انفعالات فيزيكي و شيميايي و همچنين بدست آوردن معادلات رياضي از سيستم كه توصيف كننده اين واكنشها باشد ميتوان مدلي بر اساس روابط فيزيكي حاكم بر سيستم بدست آورد
      كنترل
        بسياري از روشهاي طراحي كنترل كننده نيازمند مدل سيستم هستند
        در اين رابطه بايد بسياري از خصوصيات مدل براي طراح روشن باشد كه از آن جمله ميتوان به عدم قطعيت پارامترهاي مدل اشاره كرد
        براي مثال ممكن است در طراحي كنترل كننده نياز به خطيسازي مدل حول نقطه كار سيستم باشد، كه در اين صورت طراح كنترلر سيستم ميتواند از مدل بدست آمده سيستم استفاده كند
        بخصوص در كنترل كنندههاي غيرخطي پيشبين متكي بر مدل، دقت مدل بسيار مهم است
        در اين حالت عملكرد كل سيستم وابسته به غني بودن مدل و همچنين ميزان دقت در طراحي كنترل كننده دارد كه اين دو امر از يكديگر جدايي ناپذيرند
    يک مدل ، يک انتزاع يا تقريبي است که براي شبيه سازي واقعيات استفاده مي شود . تمرکز مدل سازي روي اين است که سيستم ، ”چه کاري“ انجام مي دهد نه ”چگونه“ آن را انجام مي دهد .
  مدل‌سازي علمي
    Scientific modelling
    مجموعهٔ فرايندهاي مربوط به تنظيم، برگزيني، و اعتبارسنجي مدل‌هاي مورد نياز جهت نمايش اشياء و پديده‌ها در علوم مختلف
    نظريّه‌هاي کلّي‌تر پيرامون مدل‌سازي‌هاي علمي در قلمرو فلسفهٔ علوم، نظريهٔ سيستم‌ها، و نمايش دانش قرار مي‌گيرد
  شبيه‌سازي
    Simulation
    تقليد يک چيز واقعي يا وضعيت اجتماعي يا يک فرايند است
    معمولاً متضمن وانماياندن شماري ويژگي‌ها يا رفتارهاي کليدي در يک سامانهٔ فيزيکي يا انتزاعي است
    در بسياري زمينه‌ها از جمله مدل‌سازي سامانه‌هاي طبيعي و انساني، براي کسب بينش پيرامون نحوهٔ کارشان، به کار مي‌رود
    شبيه‌سازي فناوري براي بهينه‌سازي عملکرد، مهندسي ايمني، آزمايش، آموزش و مهارت‌آموزي‌
    از شبيه‌سازي مي‌توان براي نشان‌دادن تأثيرات و عواقب غايي شرايطي ديگرگونه—که مثلاً در عالم واقع برقرار نبوده‌است—يا شق‌هاي ديگر سلسله کنش‌ها استفاده کرد
    شبيه‌سازي تقليدي است از عملکرد فرآيند يا سيستم واقعي با گذشت زمان
    صرفنظر از اين که با دست يا به‌وسيله کامپيوتر انجام شود، به ايجاد ساختگي سيستم و بررسي آن به منظور دستيابي به نتيجه‌گيري‌هايي در مورد ويژگي‌هاي عملکرد سيستم واقعي مربوط مي‌شود
    روش
      صورتبندي مساله
        هر بررسي مبتني بر شبيه‌سازي را بايد با صورتبندي مساله شروع کرد
      تعيين اهداف و طرح کلي پروژه
        اهداف شبيه‌سازي پرسشهايي را مطرح ميکند که بايد پاسخ آنها را با استفاده از شبيه‌سازي بدست آورد
        در اين مورد بايد تصميم گرفت که آيا با توجه به صورتبندي مساله و اهداف اظهار شده براي آن، شبيه‌سازي روش مناسبي براي تحليل مساله شمرده ميشود يا نه
      گردآوري داده‌ها
        بين ساختن مدل و گردآوري داده‌هاي ورودي مورد نياز، رابطه متقابل مداومي وجود دارد
        همچنانکه پيچيدگي مدل تغيير ميکند، عناصر داده‌اي مورد نياز نيز تغيير مي‌کنند
      مدلسازي
        ساختن مدل سيستم را به منزله يک کار علمي و هنري مي‌شناسند
        هر چند ارايه مجموعه دستورالعملهايي که در هر مورد به ايجاد مدلهاي موفق و مناسب بيانجامد ميسر نيست، دستورات کلي وجود دارد که ميتوان به آنها عمل کرد
      واسنجي
        calibration
        فرآيندي سيستماتيک است براي اين که بتوان مقادير پارامترهاي مدل را تنظيم نمود، تا نتايج حاصل از مدل با داده‌هاي مشاهده شده سازگار گردد
      معتبرسازي مدل
        validation
        مشخص کردن اين که آيا مدل معرف دقيقي از سيستم واقعي هست يا خير
  انواع
    تقسيم اول
      مدل آماري
        Statistical model
        نوعي فرمول‌بندي به صورت رياضي، براي مشخص کردن رابطه بين يک يا چند متغير اتفاقي (راندوم) با يک يا چند متغير اتفاقي ديگر است
        مدل به صورت آماري است چون متغيرها به صورت اتفاقي هستند و رابطه جبري ندارند
      مدل تصويري يا گرافي
        Graphic model
        مدلي احتمالاتي است که در آن استقلال شرطي بين متغيرها توسط يک گراف نشان‌داده مي‌شود
        انواع
          مدل با گراف جهت‌دار که شبکه بيزي ناميده مي‌شود
          مدل با گراف ساده که ميدان تصادفي مارکفي ناميده مي‌شود
        مدل‌هاي گرافي به وفور در نظريه احتمالات و آمار به ويژه در آمار بيزي و يادگيري ماشين به‌کار مي‌روند
      مدل فيزيکي
        Physical model
        نمونه‌اي از يک شي يا دستگاه که مي‌تواند در مقياس کوچکتر يا بزرگتراز شي يا دستگاه ساخته شود
      مدل رياضي
        Mathematical model
        توصيف يک سامانه(سيستم) به کمک زبان رياضي و قضيه‌ها و نمادهايش
        تلاش براي توسعهٔ يک مدل رياضي براي يک سامانه مشخص
        نه تنها در علوم طبيعي مانند فيزيک، زيست‌شناسي، زمين‌شناسي، هواشناسي و علوم مهندسي مانند علوم رايانه، هوش مصنوعي و غيره کاربرد دارد بلکه در علوم اجتماعي مانند علم اقتصاد، روان‌شناسي، جامعه‌شناسي نيز کار بردهاي گسترده‌اي دارد
        سيستم ديناميک، مدل آماري، معادله ديفرانسيل، نظريه بازي‌ها نمونه‌هايي از مدل سازي رياضي براي حل مسايل جهان به شمار مي‌روند
        مدل رياضي، گاه شامل مدل منطقي نيز مي‌شود، به اين واسطه که منطق هم جزئي از رياضي است
        کيفيت پژوهش انجام شده کاملاً وابسته به دقت مدل ساخته شده است
        هرچه هم خواني تئوري‌هاي داده شده با نتايج تجربي بيشتر باشد، مدل بهتري ساخته شده‌است
        انواع
          مدل خطي / غيرخطي
            تمام عملگرها در يک مدل رياضي به صورت خطي باشند
            عريف مدل‌هاي خطي و غير خطي در محتواي آنها است
            يک مدل خطي ممکن است داراي عبارات غير خطي باشد
          مدل قطعي / غير قطعي و تصادفي
            مقدار پارامترها قطعي هستند
            مدل قطعي زماني مناسب است که کليه عوامل شناخته شده‌باشند
            براي تست امکان‌سنجي مورد استفاده قرار مي‌گيرد
            سيستمي که به روش تصادفي پياده‌سازي شده‌باشد بهتر است زيرا خروجي تصادفي که به واقعيت نزديک است توليد مي‌نمايد
            مدلهاي شبيه‌سازي بدون هر گونه متغير تصادفي را رده مدل‌هاي قطعي قرار مي‌دهند
            مدل‌هاي قطعي مجموعه مشخصي از ورودي‌ها دارند که به مجموعه‌اي يگانه از خروجي‌ها مي‌انجامد
            مدل تصادفي شبيه‌سازي يک يا چند متغير تصادفي را به منزله ورودي دربر دارد
            ورودي‌هاي تصادفي به خروجي‌هاي تصادفي مي‌انجامد
            چون خروجي‌ها تصادفي‌اند، تنها مي‌توان آنها را برآوردهايي از ويژگي‌هاي واقعي سيستم به‌شمار آورد
          مدل ايستا / پويا
            مدل پويا وابسته به زمان است و به وضعيت سيسيتم در زمان بستگي دارد
            مدل ايستا با زمان تغيير نمي‌کند
          مدل گسسته / پيوسته
            در مدل گسسته رفتار اشيا به صورت گسسته مي‌باشد
            مدل پيوسته همانند درجه دما بصورت پيوسته مي‌باشد
          مدل قياسي / شناور
            مدل قياسي از يافته‌هاي تجربي و تعميم از آنها ناشي مي‌شود
            مدل شناور صرفاً فراخواني مي‌شود
          مسأله جعبه سياه / سفيد
            مسايل از ديد ميزان اطلاعاتي که از يک سيستم در دست است به دو دسته تقسيم‌بندي مي‌شوند، جعبه سياه و جعبه سفيد
            مسئله جعبه سياه براي سيستم‌هايي به کار مي‌رود که اطلاعات کمي در خصوص جزئيات آنها وجود دارد
            جعبهٔ سفيد که به آن جعبه شيشه‌اي نيز گفته مي‌شود براي توصيف سيستم‌هايي به کار مي‌رود که اطلاعات زيادي در خصوص اجزا و عملکرد آن‌ها موجود است
            در جهان واقعي بيشتر سيستم‌ها نه کاملاً سياه و نه کاملاً سفيد خواهند بود
        فيزيک رياضي
          Mathematical physics
          به اعمال رياضيات بر مسائل دانش فيزيک و نيز ابداع شيوه‌هاي مناسب رياضي جهت تنظيم نظريّه‌هاي گوناگون در فيزيک مي‌پردازد
          فيزيک رياضي را مي‌توان بستري گسترده براي فيزيک نظري و فيزيک محاسباتي به حساب آورد
          دير زماني‌ است که بشر رياضيات را در تبيين و روشن‌سازي اشياء و پديده‌هاي جهان فيزيکي به خدمت گرفته است
      مدل زباني
        Linguistic model
        نحوه توزيع کلمات در زبان را براي عمل بازشناسي گفتار و نيز ديگر فنون زباني محاسبه مي کنند
        از زماني که اولين مدل زباني در سال 1980 ارائه شد، تلاش‌هاي زيادي در جهت بهبود اين امر صورت گرفته است
        مدلسازي زبان در زمينه‌هاي زيادي از کاربردهاي مربوط به زبان، نظير بازشناسي گفتار، ترجمه ماشيني، طبقه‌بندي متون، بازشناسي نوري کارکترها، بازيابي اطلاعات، بازشناسي دستخط، تصحيح املايي و ... کاربرد دارند
      مدل شماتيك
        Schematic model
        طرح‌واره يا شماتيک، نموداري براي نمايش عناصر يک سامانه‌است
        به جاي استفاده از تصاوير واقعي، با استفاده از نمادهاي کلي ترسيم مي‌شود
        معمولاً کليهٔ جزئياتي که لازم نيست همراه طرح‌واره بيايند حذف مي‌شوند
        گاهي عناصري غيرواقعي براي کمک به فهم بهتر استفاده مي‌شود
        براي مثال در يک نقشهٔ مترو که براي راهنمايي مسافران در نظر گرفته شده، ممکن است ايستگاه‌ها را با يک نقطه نمايش دهند؛ با وجود اينکه اين نقطه شباهتي به ايستگاه واقعي ندارد، اما اطلاعات را بدون درهم‌ريختگي‌هاي ديداري به بيننده انتقال مي‌دهد
    تقسيم دوم
      مدلهاي کيفي
      مدلهاي کمي
  روش مدل‌سازي
    فرآيندي را که طبق آن مهندسان براي سيستمهاي تحت بررسي خود به مدلسازي مي‌پردازند، بايد يک هنر ابتکاري قلمداد نمود
    براي دست يافتن به آن تنها دانستن قوانين و ضوابط موضوع مورد نظر کفايت نمي‌کند، بلکه نيازمند تمرين و ممارست و هوش و ذکاوت است
    روش درست مدلسازي چنين است که با مدلي بسيار ساده کار را شروع کنيم و به تدريج به کامل کردن بپردازيم
    هر مساله، معمولاً از تعداد بيشماري متغير، پارامتر، محدويت، جزء و رابطه تشکيل ميشود
    به هنگام بررسي هر مساله بايد اغلب خصوصيات واقعي مربوط به آن را نديده گرفت و فقط آن دسته از خصوصيات را که مستقيماً به هدف بررسي مساله ربط پيدا ميکند در بررسي شرکت داد
    به منظور ايجاد مدلي مفيد بايد از يک فرآيند دو مرحله‌اي تجزيه و ترکيب استفاده کرد
      منظور از تجزيه، ساده کردن سيستم از راه حذف جزييات يا از طريق پذيرش فرضهايي است که روابط حاکم بر عوامل را مهار ميکند
    عمل ساده‌سازي مدل معمولاً به يکي از راه‌هاي زير انجام مي‌شود
      تبديل متغيرها به مقادير ثابت
      حذف متغيرها يا ادغام آنها در يکديگر
      فرض خطي بودن روابط
      افزودن محدوديت‌هاي بيشتر
      تحديد حدود سيستم
    عمل ساده کردن مدل تا جايي مي‌توان ادامه داد که مدل از لحاظ رياضي قابل حل شود
    از اين مرحله (ترکيب) به بعد، عمل کامل کردن مدل شروع ميشود
    طبيعت تکاملي مدلسازي امري اجتناب‌ناپذير است
      با حل شدن مساله در دست بررسي، مسايل تازه‌اي پيدا ميشود
    پيدايش مسايل جديد و مطلوبيت يافتن شرايط جديد به اصلاح مدل و تهيه راه حل‌هاي بهتر مي‌انجامد